彼は心を開いてくれない。
He won't let me in.
「心を開く」は「open up」又は「let 人 in」と言います。
たとえば
Why won’t you let me in?
（どうして心を開いてくれないの？）
He won’t let me in.
（彼は心を開いてくれない）
She’s starting to open up.
（彼女は心を開き始めた）
You need to open up more.
（もっと心を開かないと）
日本語に拘って「heart」を使わない方がずっと自然な英語です。
「an open mind」も「広い心」や「心を開く」という意味ではなく、
「先入観なしで」「決め付けなしで」「新しい考えを受け入れる」ような意味です。
たとえば
Please keep an open mind.
（先入観なしで聞いてください）
Come with an open mind.
（新しい考えを受け入れてもいい心構えで来てね、先入観なしで来てね）
ちなみに、日本語の「心」は「heart」だったり、「mind」だったりしますが、
・「heart」は「本心」や「感情」のイメージ
・「mind」は「考えていること」のイメージ
です。
たとえば
In my heart, I know it’s wrong.
（本心では、間違っていることだと分かっている）
I want to thank you from the bottom of my heart.
（心の底から感謝している）
What’s on your mind?
（何を考えているの？）（特に悩み）
What do you have in mind?
（どんな案を考えているの？）
I’m in two minds about it.
（自分の中で意見が分かれている、いいことなのか悪いことなのか迷っている）
そして、今回のフレーズの「won’t」は「未来の否定文」ではなくて、
「どうしてもしない」「しようとしない」という意味のより知られてない使い方です。
たとえば
The door won’t open.
（ドアが全然開かない）
He won’t listen!
（彼は聞く耳を持ってくれない）
He won’t let me in.
（心を開こうとしない）
