誰だって応じるでしょう。
Who wouldn't say yes?
文法: 仮定法
この「would」は「まさか！」「ありえない！」という使い方です。日本語の「いったい誰が！」「信じるわけ？」のようなニュアンスです。今回は否定文なので「いったい誰がしないわけ？」という意味になり、日本語の「誰だったするでしょう」という言い方に値します。
他にも
Who wouldn't be angry?
（誰だって怒るよ）
Who wouldn't want to be beautiful?
（誰だって綺麗になりたいでしょう）
