最近クレームがいっぱい来る。
We've been getting lots of complaints.
まず「クレーム」は英語では「claim」ではないですね。「claim」は「主張（名詞）又は「主張する（動詞）」という意味です。
たとえば
Do you have evidence to back up your claim?
（その主張を裏付ける証拠はありますか？）
He claimed to be a prince.
（自分が王子様だと主張した）
He claimed she was lying.
（彼は彼女が嘘をついていると主張した）
英語では「クレームする」は「complain（動詞）（文句を言う）」、「クレーム」は「complaint（名詞）」と言います。
たとえば
I would complain.
（私ならクレームするね）
He complains about everything.
（彼はいつも文句を言っている）
We got a complaint about our product.
（我が社の商品についてクレームをがあった）
That's a strange complaint.
（変なクレームだね）
そして「have been ~ing」は「最近よくすること」を表す時制です。
たとえば
I've been eating out.
（最近、外食が多い）
We've been getting up early.
（私たちは最近は早起きです）
He's been doing overtime.
（彼は最近残業が多い）
It's been raining.
（最近雨が多いね）
