酔っ払ってきた。
I'm getting drunk.
英語の形容詞の基本的な使い方で、状態なら「be ＋形容詞（～である）」、変化なら「get ＋形容詞（～になる）」という使い分けがあります。
変化を表す「get」を「～している最中」を表す進行形にすると「変化の最中」、
つまり「変化の途中」という意味です。「なりつつある」、「なってきた」という言い方になります。
たとえば
I'm getting hungry.
（お腹が空いてきた）
I'm getting tired.
（疲れてきた）
I'm getting sick.
（風邪の引き始め）
I'm getting better.
（治りかけ）
