最近クレームがいっぱい来る。
We've been getting lots of complaints.
まず「クレーム」は英語では「claim」とでないですね。「claim」は「主張（名詞）又は「主張する（動詞）」という意味です。
たとえば
「Do you have evidence to back up your claim?（その主張を裏付ける証拠はありますか？）」
「He claimed to be a prince.（自分が王子様だと主張した）」
「He claimed she was lying.（彼は彼女が嘘をついていると主張した）」など。
英語では「クレームする」は「complain（動詞）（文句を言う）」、「クレーム」は「complaint（名詞）」と言います。
たとえば
「I would complain.（私ならクレームするね）」
「He complains about everything.（彼はいつも文句を言っている）」
「We got a complaint about our product.（我が社の商品についてクレームをがあった）」
「That’s a strange complaint.（変なクレームだね）」など。
そして「have been ~ing」は「最近よくすること」を表す時制です。
たとえば
「I’ve been eating out.（最近、外食が多い）」
「We’ve been getting up early.（私たちは最近は早起きです）」
「He’s been doing overtime.（彼は最近残業が多い）」
「It’s been raining.（最近雨が多いね）」など。
