誰だって応じるでしょう。
Who wouldn't say yes?
文法: 仮定法
この「would」は「まさか!」「ありえない!」という使い方です。日本語の「いったい誰が!」「信じるわけ?」のようなニュアンスです。今回は否定文なので「いったい誰がしないわけ?」という意味になり、日本語の「誰だったするでしょう」という言い方に値します。
他にも
Who wouldn’t be angry?
(誰だって怒るよ)
Who wouldn’t want to be beautiful?
(誰だって綺麗になりたいでしょう)