お詫びに食事を奢った。
I made it up to him by buying him dinner.
❶ 「make it up to 人」は「（お詫びに）埋め合わせをする」という意味の英語です。
たとえば、
Let me make it up to you.
（埋め合わせをさせて下さい）
How can I make it up to you?
（どのように埋め合わせをすればいいでしょうか？）
❷ 「奢る」は特別な言葉を使わずに、簡単に「buy 人 ~」と言います。
「buy 人」だけで終わってしまうと「人を買う」という大変な意味になってしまうので注意しましょう。
たとえば
I bought him dinner. ✅
（彼に夕飯を奢った）
I bought him. ❌
（彼を買った）
Can I buy you a drink? ✅
（一杯奢らせてください）
Can I buy you? ❌
（君を買ってもいい？）
❸ 「by」は「手段」を表します。
「by」に続くのは名詞、又は動名詞（動詞ing）なので、動詞は必ず「ing」の形にしましょう。
たとえば
I fixed the problem by rebooting the computer.
（パソコンを再起動することで問題を解決できた）
We won by thinking outside the box.
（固定概念に囚われない考え方をすることで勝てた）
I made it up to him by buying him dinner.
（夕飯を奢ることで埋め合わせをした）
