あまり飲む方じゃないです。

I'm not much of a drinker.

動詞に「er」を付け足して「~する人」という言い方がありますね。たとえば「swim（泳ぐ）」「swimmer（泳ぐ人）」、「drive（運転する）」「driver（運転する人）」など。

今回はその言い方を使った表現です。「I’m not much of a ~er」は「あまり~しない」という表現です。他にも

「I’m not much of a talker.（あまり喋る方じゃない）」

「I’m not much of a sleeper.（あまり寝ない）」など。

他にも「~er」を使って「a 形容詞　~er」という表現もあります。たとえば

「I’m a good listener.（聞き上手）」

「You’re a bad liar.（嘘が下手だね）」

「He’s a messy eater.（食べ方が汚い）」

「She’s a light sleeper.（眠りが浅い）」

「I was a late bloomer.（遅咲きだった）」など。