彼女はどんどん美しくなっていくね。

She's getting more and more beautiful.

「be ＋形容詞」は「状態」、「get ＋形容詞」は「変化」を表します。そして、「変化」を表す「get」を「している最中」を表す進行形にすると「変化の途中」ということで、「なってきた」「なりつつある」「なり始めた」という言い方です。たとえば

「I’m getting sick.（風邪の引き始め）」

「I’m getting better.（治りかけ）」

「I’m getting hungry.（お腹が空いてきた）」

「I’m getting full.（お腹いっぱいになってきた）」など。

そして、今回のポイントは「どんどん」という言い方です。形容詞の比較級を２回続けると「どんどん」という意味にになります。たとえば

「You’re getting better and better.（どんどん上達しているね）」

「It’s getting worse.（状況がどんどん悪化していく）」

「I’m getting busier and busier.（どんどん忙しくなっていく）」など。

形容詞の比較級には「er」が付くものと「more」が付くものがありますが、「more」が付く比較級の場合は「more beautiful and more beautiful」だとくどい感じがするので「more and more beautiful」と言います。同じように

「It’s getting more and more difficult.（どんどん難しくなる）」など。